Preu AI
Ver temarios
PAES Regular 2026 · Admisión 2027

Fórmulas PAES M2:
ejemplos y práctica

Elige el método y comprueba sus condiciones. Repasa un ejemplo y practica con explicación.

Ver fórmulasDescargar resumen PDF
Astro graduado con un lápiz

22 fichas adicionales de M2 con ejemplos originales y cuatro ayudas para elegir el método. Material de repaso de Preu AI basado en el temario; no reemplaza resolver problemas.

22 de 22 fichas

Números

Opera, compara y reconoce la base de cada cálculo.

Reales y radicales

#
ab=ab,a2=∣a∣\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,\quad \sqrt{a^2}=|a|

Qué significa cada variable

a, b
Números reales; a y b no negativos en la regla del producto. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para simplificar cálculos exactos sin redondear números irracionales.

  • Se trabaja en los números reales y con la raíz principal no negativa.
  • Extrae factores cuadrados; solo suma o resta radicales con la misma parte radical.

Error habitual: Repartir la raíz sobre una suma. √(a+b) no es, en general, √a+√b. La regla aquí es de productos.

Ejemplo resuelto

Simplifica √8 + √18.

  1. 8 = 4·2 y 18 = 9·2.
  2. √8 = 2√2; √18 = 3√2.
  3. Suma los coeficientes: (2+3)√2 = 5√2.

5√2 es una expresión exacta; no necesitas aproximarla.

Practica esta idea

¿Cuál es el valor exacto de √50 − √8?
Solución paso a paso
  1. 50 = 25·2, por tanto √50 = 5√2.
  2. 8 = 4·2, por tanto √8 = 2√2.
  3. Resta: (5−2)√2 = 3√2.
  • √42: La raíz no se reparte sobre una resta.
  • 3√2: √50 = 5√2 y √8 = 2√2; la diferencia es 3√2.
  • 7√2: 7√2 sería la suma de ambos radicales.
  • 3: El factor √2 no desaparece al restar coeficientes.

Interés simple y compuesto

#
M=C(1+in)M=C(1+in)
M=C(1+i)nM=C(1+i)^n

Qué significa cada variable

C, M
Capital inicial y monto final. Pesos.
i
Tasa decimal por período; 5% = 0,05. Sin unidad.
n
Número entero de períodos, n ≥ 0. Períodos compatibles con la tasa.

Cuándo usarlo

Para comparar dos modelos educativos de crecimiento del capital bajo supuestos explícitos.

  • C > 0 y tasa constante i ≥ 0 en estos modelos ficticios.
  • Simple: el interés se calcula sobre C; compuesto: se reinvierte en cada período.
  • No hay aportes, cuotas, comisiones, impuestos ni tasas variables. Esos casos requieren otro modelo.

Error habitual: Usar i = 5 para una tasa de 5%. Convierte el porcentaje a 0,05 y usa períodos compatibles.

Ejemplo resuelto

Capital ficticio de 100000 pesos al 10% por período, durante 2 períodos y sin cargos. Compara ambos modelos.

  1. C = 100000, i = 0,10 y n = 2.
  2. Simple: 100000(1+0,10·2) = 120000 pesos.
  3. Compuesto: 100000·1,10² = 121000 pesos.
  4. El segundo período compuesto incluye interés sobre el interés del primero.

En este ejemplo, el monto compuesto supera al simple en 1000 pesos.

Practica esta idea

pesos

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Convierte: i = 0,05 y 1+i = 1,05.
  2. Primer período: 80000·1,05 = 84000 pesos.
  3. Segundo: 84000·1,05 = 88200 pesos.

Logaritmos y dominio

#
log⁡bu=y  ⟺  by=u\log_b u=y\iff b^y=u
log⁡b(uv)=log⁡bu+log⁡bv\log_b(uv)=\log_b u+\log_b v
log⁡b(u/v)=log⁡bu−log⁡bv,log⁡b(ut)=tlog⁡bu\log_b(u/v)=\log_b u-\log_b v,\quad \log_b(u^t)=t\log_b u

Qué significa cada variable

b
Base positiva distinta de 1. Sin unidad.
u, v
Argumentos positivos y adimensionales. Sin unidad.
y, t
Exponentes reales. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para convertir una ecuación logarítmica en una potencia y comprobar sus soluciones.

  • b > 0, b ≠ 1 y cada argumento > 0.
  • Antes de combinar dos logaritmos, intersecta los dominios de ambos.
  • Para magnitudes físicas, justifica un cociente sin unidad dentro del logaritmo.

Error habitual: Aceptar todas las raíces de la ecuación transformada. Descarta las que no cumplan el dominio original. No hay regla de suma para log(u+v).

Ejemplo resuelto

Resuelve log₂(x−1) + log₂(x−3) = 3 en los reales.

  1. x−1 > 0 y x−3 > 0: el dominio es x > 3.
  2. Dentro del dominio, log₂((x−1)(x−3)) = 3.
  3. (x−1)(x−3) = 8; x²−4x−5 = 0; (x−5)(x+1) = 0.
  4. Candidatos: 5 y −1. Descarta −1 porque no cumple x > 3.
  5. Verifica x = 5: log₂(4)+log₂(2) = 2+1 = 3.

La única solución real de la ecuación original es x = 5.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. El argumento exige x > 1.
  2. Convierte: x−1 = 2³ = 8.
  3. x = 9; cumple el dominio y log₂(8) = 3.

¿Necesitas elegir el método? Consulta las ayudas guiadas

Álgebra y funciones

Elige un modelo, resuelve y comprueba sus condiciones.

Sistemas: una, ninguna o infinitas soluciones

#
a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2a_1x+b_1y=c_1,\quad a_2x+b_2y=c_2
D=a1b2−a2b1D=a_1b_2-a_2b_1

Qué significa cada variable

x, y
Incógnitas reales. Según el contexto; adimensionales en este ejemplo.
aᵢ, bᵢ, cᵢ
Coeficientes y términos conocidos de cada ecuación. Sin unidad.
D
Determinante de los coeficientes. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para clasificar un sistema antes de intentar despejar sus incógnitas.

  • D ≠ 0: solución única.
  • Si D = 0, reduce las ecuaciones: una contradicción 0 = c, c ≠ 0, implica ninguna solución.
  • Si D = 0 y no hay contradicción, hay infinitas soluciones. No dividas por un coeficiente que puede ser cero.

Error habitual: Concluir infinitas soluciones solo porque D = 0. Comprueba también si los términos independientes son compatibles.

Ejemplo resuelto

Clasifica x+y = 5 y 2x+2y = 10.

  1. D = 1·2−2·1 = 0.
  2. Resta dos veces la primera ecuación a la segunda: 0 = 0.
  3. Las ecuaciones describen la misma recta: (x, 5−x) para cualquier x real.

Hay infinitas soluciones, no una pareja única.

Practica esta idea

¿Cuántas soluciones tiene x+y = 5 y 2x+2y = 12?
Solución paso a paso
  1. D = 1·2−2·1 = 0.
  2. Segunda menos dos veces la primera: 0 = 12−10 = 2.
  3. Ninguna pareja satisface esa contradicción.
  • Una: Una solución única requeriría dos ecuaciones independientes; aquí D = 0.
  • Infinitas: Los lados izquierdos son proporcionales, pero 12 no es el doble de 5.
  • Ninguna: Al restar dos veces la primera ecuación aparece 0 = 2: contradicción.

Función potencia

#
f(x)=axpf(x)=ax^p

Qué significa cada variable

a
Coeficiente real no nulo en los modelos representados. Sin unidad.
p
Exponente que determina forma y dominio. Sin unidad.
x, f(x)
Entrada y salida. Según el modelo; adimensionales en este ejemplo.

Cuándo usarlo

Para relacionar una potencia con su tabla, su gráfica y restricciones.

  • Para p = 2 o 3, dominio real; x² es par y x³ es impar.
  • Para p = −1, excluye x = 0; para p = 1/2, exige x ≥ 0.
  • No existe un mismo dominio para todos los exponentes reales.

Error habitual: Confundir x⁻¹ con −x. x⁻¹ = 1/x y no está definido en x = 0.

f(x)=2x³-16016-202xy
Gráfico de f(x)=2x³ con ejes x e y adimensionales. Puntos (−2,−16), (0,0) y (2,16); dominio y rango reales. Curva creciente, simétrica respecto del origen.

Ejemplo resuelto

Para f(x)=2x³, calcula f(−2).

  1. El exponente 3 admite x = −2 en el dominio real.
  2. (−2)³ = −8.
  3. Multiplica por a = 2: f(−2) = −16.

El punto (−2,−16) pertenece a la gráfica.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. x = 6 es distinto de cero y está en el dominio.
  2. f(6) = 3/6.
  3. Reduce: f(6) = 1/2.

Función exponencial

#
f(t)=Cbtf(t)=Cb^t

Qué significa cada variable

C
Valor inicial positivo. Misma unidad que f(t).
b
Factor positivo distinto de 1. Sin unidad.
t
Tiempo medido en períodos compatibles. Períodos.

Cuándo usarlo

Cuando en cada período se multiplica por un mismo factor.

  • Para C > 0: b > 1 da crecimiento; 0 < b < 1 da decrecimiento.
  • Dominio matemático real; el contexto puede limitar t ≥ 0 o t entero.
  • La tasa y el período deben corresponder. No extrapoles indefinidamente un modelo real.

Error habitual: Multiplicar C por b·t en lugar de bᵗ. El cambio es multiplicativo repetido; t es el exponente.

f(t)=50·2ᵗ01002004000123t (períodos)f(t) (unidades)
Gráfico de f(t)=50·2ᵗ, con eje t en períodos y salida en unidades. Puntos (0,50), (1,100), (2,200), (3,400). En el ejemplo se usan períodos enteros no negativos.

Ejemplo resuelto

Una población ficticia se modela por f(t)=50·2ᵗ. Calcula f(3).

  1. El valor inicial es 50 unidades y el factor por período es 2.
  2. 2³ = 8.
  3. f(3) = 50·8 = 400 unidades.

Tras 3 períodos el modelo entrega 400 unidades.

Practica esta idea

unidades

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. El factor 1/2 reduce a la mitad en cada período.
  2. (1/2)² = 1/4.
  3. f(2) = 100/4 = 25 unidades.

Función logarítmica

#
f(x)=log⁡b(x),x>0f(x)=\log_b(x),\quad x>0

Qué significa cada variable

b
Base positiva distinta de 1. Sin unidad.
x
Argumento adimensional positivo. Sin unidad.
f(x)
Valor real del logaritmo. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para leer una gráfica logarítmica y reconocer su dominio antes de resolver.

  • Dominio x > 0; rango real; pasa por (1,0); asíntota vertical x = 0.
  • Crece si b > 1; decrece si 0 < b < 1.
  • Para log_b(x−h), dominio x > h. La asíntota no pertenece a la gráfica.

Error habitual: Incluir el borde del dominio porque se ve una asíntota. El argumento debe ser estrictamente positivo, no cero.

f(x)=log₂(x); x>0-201301248xy
Gráfico de log₂(x), ejes adimensionales, dominio x>0 y asíntota x=0 marcada con línea discontinua. Puntos (1,0), (2,1) y (8,3); rango real.

Ejemplo resuelto

Ubica tres puntos de f(x)=log₂(x).

  1. 2⁰ = 1, por tanto f(1) = 0.
  2. 2¹ = 2, por tanto f(2) = 1.
  3. 2³ = 8, por tanto f(8) = 3. Todos los argumentos son positivos.

Los puntos son (1,0), (2,1) y (8,3); la función es creciente.

Practica esta idea

¿Cuál es el dominio real de f(x)=log₃(x−2)?
Solución paso a paso
  1. La base 3 es positiva y distinta de 1.
  2. Exige x−2 > 0.
  3. Despeja: x > 2; el borde se excluye.
  • x ≥ 2: En x=2 el argumento es cero, que no admite logaritmo real.
  • x > 2: x−2 > 0 equivale a x > 2.
  • Todos los reales: Los valores x ≤ 2 dejan un argumento no positivo.
  • x < 2: x < 2 produce un argumento negativo.

Seno y coseno como funciones

#
y=Asin⁡(B(x−h))+Dy=A\sin(B(x-h))+D
T=2π∣B∣ rad,T=360∘∣B∣ en gradosT=\frac{2\pi}{|B|}\text{ rad},\quad T=\frac{360^\circ}{|B|}\text{ en grados}

Qué significa cada variable

A, D
Coeficiente de oscilación y eje medio; la amplitud es |A|. Misma unidad que y; adimensionales en el ejemplo.
B
Factor que ajusta x al argumento angular. Radianes (o grados) por unidad de x.
h
Traslado horizontal. Misma unidad que x; radianes en el ejemplo.
T
Período de repetición. Misma unidad que x; radianes en el ejemplo.

Cuándo usarlo

Para representar ciclos y leer amplitud, eje medio y repetición.

  • A ≠ 0 y B ≠ 0; amplitud |A|, rango [D−|A|,D+|A|].
  • Para coseno se conservan amplitud, período y eje medio.
  • Declara grados o radianes. Los ejemplos de esta ficha usan radianes.

Error habitual: Usar 360 cuando el argumento se expresa en radianes. En radianes un ciclo es 2π; en grados es 360°.

y=3sin(2x)+1-2140π/2πx (rad)y
Gráfico de y=3sin(2x)+1 con x en radianes, eje medio y=1, máximos y=4 y mínimos y=−2. Un ciclo entre x=0 y x=π; amplitud 3.

Ejemplo resuelto

Describe y=3sin(2x)+1 con x en radianes.

  1. A=3: la amplitud es 3. D=1: el eje medio es y=1.
  2. B=2: el período es 2π/2 = π rad.
  3. Los valores van de 1−3=−2 a 1+3=4.

Amplitud 3, período π rad y rango [−2,4].

Practica esta idea

Para y=2cos(x)+1 y x=π rad, ¿cuánto vale y?
Solución paso a paso
  1. En radianes, cos(π)=−1.
  2. Sustituye: y=2·(−1)+1.
  3. y=−2+1=−1.
  • 3: 3 corresponde a cos(0)=1.
  • 1: 1 aparecería si cos(x)=0, pero cos(π)=−1.
  • −1: 2·(−1)+1=−1.
  • −3: El traslado vertical suma 1; no resta 1.

¿Necesitas elegir el método? Consulta las ayudas guiadas

Geometría

Identifica la figura, las medidas y la unidad de respuesta.

Homotecia

#
P′=C+k(P−C)P'=C+k(P-C)
L′=∣k∣L,A′=k2AL'=|k|L,\quad A'=k^2A

Qué significa cada variable

C, P, P′
Centro, punto original e imagen en la misma escala. Sin unidad.
k
Razón real no nula. Sin unidad.
L, A
Longitud y área originales positivas. Unidad de longitud y su cuadrado.

Cuándo usarlo

Para transformar una figura desde un centro y comparar sus medidas.

  • k<0 ubica la imagen al lado opuesto del centro.
  • Las longitudes siguen siendo positivas: usa |k|.
  • Los factores de área y longitud son distintos.

Error habitual: Obtener una longitud negativa al usar k<0. El signo determina posición; |k| determina tamaño.

C=(0,0)P=(2,−1)P′=(−4,2)k=−2xy
Plano con centro C=(0,0), P=(2,−1) y P′=(−4,2), alineados; razón k=−2. La imagen está al lado opuesto y a doble distancia del centro.

Ejemplo resuelto

C=(0,0), P=(2,−1) y k=−2. Encuentra P′.

  1. Resta el centro: P−C=(2,−1).
  2. Multiplica por k: −2(2,−1)=(−4,2).
  3. Suma C: P′=(−4,2).

P′ está al lado opuesto del centro y al doble de distancia.

Practica esta idea

cm

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. La longitud usa el factor |k|=2.
  2. L′=2·3=6 cm.
  3. El signo negativo cambia la posición, no vuelve negativa la longitud.

Razones en triángulo rectángulo

#
sin⁡θ=OH,cos⁡θ=AH,tan⁡θ=OA\sin\theta=\frac{O}{H},\quad \cos\theta=\frac{A}{H},\quad \tan\theta=\frac{O}{A}

Qué significa cada variable

θ
Ángulo agudo de referencia. Grados en esta ficha.
O, A, H
Cateto opuesto, adyacente e hipotenusa respecto de θ. Misma unidad de longitud.

Cuándo usarlo

Para conectar un ángulo agudo con cocientes de lados.

  • Triángulo rectángulo y lados positivos. La hipotenusa está frente al ángulo recto.
  • Los nombres opuesto/adyacente cambian si eliges el otro ángulo agudo.
  • Las razones son adimensionales.

Error habitual: Elegir opuesto y adyacente según la orientación de la hoja. Ubícalos respecto del ángulo θ marcado.

θAdyacente: 4 cmHipotenusa: 5 cmOpuesto: 3 cm
Triángulo rectángulo de lados 3,4,5 cm; ángulo θ en el extremo del cateto de 4 cm. El cateto de 3 cm es opuesto, el de 4 es adyacente y el de 5 es hipotenusa.

Ejemplo resuelto

En un triángulo 3–4–5 cm, θ es opuesto al lado de 3 cm. Calcula sin θ.

  1. La hipotenusa es 5 cm: está frente al ángulo recto.
  2. El cateto opuesto a θ mide 3 cm.
  3. sin θ = 3/5; las unidades de longitud se cancelan.

El seno es 3/5, independiente de la escala del triángulo.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Seno = cateto opuesto / hipotenusa.
  2. sin θ = 6/10 = 3/5.
  3. 6/8 sería la tangente si el cateto adyacente mide 8 cm; no es el seno.

Ángulos y arcos

#
α=m(arco),β=12m(arco)\alpha=m(\text{arco}),\quad \beta=\frac12m(\text{arco})

Qué significa cada variable

α
Ángulo con vértice en el centro. Grados.
β
Ángulo con vértice sobre la circunferencia. Grados.
m(arco)
Medida angular del arco interceptado; no su longitud. Grados.

Cuándo usarlo

Cuando se conoce el arco interceptado por un ángulo central o inscrito.

  • Para el inscrito, el arco interceptado no contiene su vértice.
  • Identifica la posición del vértice antes de elegir la relación.
  • Otros ángulos interiores o exteriores requieren relaciones distintas.

Error habitual: Dividir por dos cualquier ángulo del dibujo. La regla de mitad corresponde al inscrito que intercepta ese arco.

ABCO100°50°Arco 100°Esquema no a escala
Circunferencia de centro O con arco AB de 100°. El central AOB mide 100°; el inscrito ACB, con C fuera del arco AB interceptado, mide 50°. Esquema no a escala.

Ejemplo resuelto

Un ángulo inscrito intercepta un arco de 100°. ¿Cuánto mide?

  1. El vértice está sobre la circunferencia.
  2. El arco interceptado, sin el vértice, mide 100°.
  3. β = 100°/2 = 50°.

El ángulo inscrito mide 50°.

Practica esta idea

°

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Es un ángulo inscrito, no central.
  2. Su medida es la mitad del arco.
  3. β = 140°/2 = 70°.

Cuerdas y secantes

#
PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB=PC\cdot PD

Qué significa cada variable

P
Intersección interior de cuerdas o punto exterior común de secantes. Sin unidad.
PA, PB, PC, PD
Longitudes positivas medidas desde P. Misma unidad; productos en unidad².

Cuándo usarlo

Para hallar una longitud cuando se identifican dos cuerdas interiores o dos secantes desde un punto exterior.

  • Interior: A y B están a lados opuestos de P sobre una cuerda; C y D sobre la otra.
  • Exterior: orden P–A–B y P–C–D; PB y PD son los tramos completos.
  • No reemplaces el tramo total por solo la parte dentro del círculo.

Error habitual: Usar AB en lugar de PB en una secante exterior. El total PB = PA+AB. Primero distingue tramo externo y tramo completo.

Cuerdas interioresSecantes exterioresABCDP2634PABCDPA=3; PB=12 cmPC=4; PD=9 cmNo a escala · exterior × total
Dos esquemas no a escala. Interior: cuerdas AB y CD se cortan en P; PA=2, PB=6, PC=3, PD=4 cm. Exterior: P–A–B y P–C–D; PA=3, PB=12, PC=4, PD=9 cm; los totales parten en P.

Ejemplo resuelto

Dos cuerdas se cortan en P interior. PA=2 cm, PB=6 cm y PC=3 cm. Calcula PD.

  1. Todos los segmentos se miden desde P, interior al círculo.
  2. PA·PB = PC·PD: 2·6 = 3·PD.
  3. PD = 12/3 = 4 cm.

Los productos de segmentos son ambos 12 cm².

Practica esta idea

cm

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Usa externo × total: PA·PB = PC·PD.
  2. 3·12 = 4·PD; PD = 36/4 = 9 cm.
  3. La parte interior CD = 9−4 = 5 cm; se pidió PD, no CD.

Superficie y volumen de esfera

#
A=4πr2,V=4πr33A=4\pi r^2,\quad V=\frac{4\pi r^3}{3}

Qué significa cada variable

r
Radio positivo; el diámetro es 2r. Unidad de longitud.
A
Área de la superficie esférica. Unidad².
V
Volumen del sólido. Unidad³.

Cuándo usarlo

Para medir la superficie externa o el espacio ocupado por una esfera.

  • r > 0; no sustituir el diámetro como radio.
  • Conserva π para dar un resultado exacto.
  • Superficie y volumen son magnitudes distintas.

Error habitual: Usar πr², que es área de círculo, para toda la superficie. La superficie esférica es 4πr²; el sólido tiene volumen 4πr³/3.

OrSuperficie: unidad² · Volumen: unidad³
Esfera representada mediante círculo y ecuador discontinuo, con centro O y radio r desde el centro hasta la superficie. Es una representación del sólido; no un círculo plano.

Ejemplo resuelto

Una esfera tiene radio 3 cm. Calcula área y volumen exactos.

  1. A = 4π·3² = 36π cm².
  2. V = 4π·3³/3 = 36π cm³.
  3. Las expresiones numéricas coinciden, pero sus unidades no.

Área 36π cm² y volumen 36π cm³ son magnitudes diferentes.

Practica esta idea

Una esfera tiene radio 2 cm. ¿Cuál es su volumen exacto?
Solución paso a paso
  1. r = 2 cm; r³ = 8 cm³.
  2. V = 4π·8/3.
  3. V = 32π/3 cm³; conserva π para exactitud.
  • 16π cm³: 16π corresponde al área, con unidad cm², no al volumen.
  • 32π/3 cm³: 4π·2³/3 = 32π/3 cm³.
  • 8π/3 cm³: Falta el factor 4 de la fórmula.
  • 32π cm³: Falta dividir por 3.

Rectas y posiciones relativas

#
ax+by=c,m=−a/b (b≠0)ax+by=c,\quad m=-a/b\ (b\ne0)
m1m2=−1(pendientes existentes)m_1m_2=-1\quad\text{(pendientes existentes)}

Qué significa cada variable

a, b, c
Coeficientes reales, a y b no ambos cero. Sin unidad.
x, y
Coordenadas en ejes con igual escala para ángulos. Sin unidad.
m
Pendiente; no existe para una recta vertical. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para clasificar rectas y reconocer intersecciones, incluyendo casos verticales.

  • Pares (a,b) no proporcionales: las rectas se cortan.
  • Si son proporcionales, compara también c para distinguir paralelas diferentes y coincidentes.
  • Vertical x=h y horizontal y=k son perpendiculares sin usar pendientes.

Error habitual: Dividir por b=0 para hallar una pendiente. Si b=0, la recta es vertical; usa la ecuación general o la geometría.

x=4y=−2(4,−2)4−2xyIgual escala en ambos ejes
Plano con igual escala en ambos ejes: recta vertical x=4 y horizontal y=−2, que se cruzan perpendicularmente en (4,−2). No se calcula pendiente de la vertical.

Ejemplo resuelto

Compara y=2x+1 e y=2x−3.

  1. Ambas tienen pendiente 2.
  2. Sus interceptos 1 y −3 son diferentes.
  3. Nunca coinciden sus valores de y para el mismo x.

Son paralelas distintas.

Practica esta idea

¿Qué relación tienen las rectas x=4 e y=−2 en ejes de igual escala?
Solución paso a paso
  1. x=4 es vertical.
  2. y=−2 es horizontal.
  3. Se cortan en (4,−2) y son perpendiculares.
  • Paralelas distintas: Una es vertical y la otra horizontal; se cortan.
  • Coincidentes: Comparten un solo punto, no todos.
  • Perpendiculares: Vertical y horizontal forman un ángulo recto.
  • No se puede saber: Sus ecuaciones bastan para clasificar ambas.

¿Necesitas elegir el método? Consulta las ayudas guiadas

Probabilidad y estadística

Interpreta datos y cuenta resultados sin duplicarlos.

Dispersión: rango, varianza y desviación

#
R=max⁡xi−min⁡xi,μ=∑xinR=\max x_i-\min x_i,\quad \mu=\frac{\sum x_i}{n}
σ2=∑(xi−μ)2n,σ=σ2\sigma^2=\frac{\sum(x_i-\mu)^2}{n},\quad \sigma=\sqrt{\sigma^2}

Qué significa cada variable

xᵢ, μ
Observación y media. Misma unidad de los datos.
n
Cantidad de datos, entero positivo. Sin unidad.
R, σ, σ²
Rango, desviación estándar y varianza. R y σ: unidad de datos; σ²: unidad².

Cuándo usarlo

Para comparar dispersión de grupos, incluso si comparten la media.

  • Estos datos se tratan como la población completa: divisor n.
  • No confundir con varianza muestral de divisor n−1.
  • Con frecuencias, pondera cada observación y usa n=Σfᵢ.

Error habitual: Inferir igual dispersión porque dos grupos tienen igual media. La media no informa por sí sola cuánto se separan los datos.

Ejemplo resuelto

Datos completos 1 y 3. Calcula media, rango, varianza y desviación.

  1. μ=(1+3)/2=2 y R=3−1=2.
  2. Desviaciones cuadradas: (1−2)²=1 y (3−2)²=1.
  3. σ²=(1+1)/2=1; σ=√1=1.

La desviación estándar es 1 en la unidad de los datos.

Practica esta idea

unidades de los datos

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. μ=(2+2+6+6)/4=4.
  2. Cada desviación cuadrada es 4; σ²=16/4=4.
  3. σ=√4=2. El grupo 4,4,4,4 tiene igual media, pero σ=0.

Probabilidad condicional

#
P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)>0P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0
P(A∩B)=P(B)P(A∣B)P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)

Qué significa cada variable

A, B
Eventos; B es la condición que restringe el universo. Sin unidad.
P(A∩B)
Probabilidad de que ocurran ambos eventos. Sin unidad.
P(B)
Probabilidad de la condición, positiva. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Cuando la selección se restringe a quienes cumplen B.

  • Probabilidades entre 0 y 1; P(B)>0 para este cociente.
  • P(A|B) no es en general P(B|A).
  • No necesitas asumir independencia.

Error habitual: Dividir por la población completa después de restringir a B. El denominador corresponde a la condición B.

Ejemplo resuelto

Se elige uniformemente entre los 12 participantes de B; 3 también pertenecen a A. Calcula P(A|B).

  1. El universo condicionado tiene 12 participantes equiprobables.
  2. Los favorables dentro de B son los 3 de A∩B.
  3. P(A|B)=3/12=1/4.

La probabilidad condicionada es 1/4.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. P(B)=0,4>0: el cociente está definido.
  2. P(A|B)=0,12/0,4 = 12/40.
  3. Reduce: 3/10 = 0,3.

Independencia y exclusión

#
P(A∩B)=P(A)P(B)(independencia)P(A\cap B)=P(A)P(B)\quad\text{(independencia)}
A∩B=∅  ⟹  P(A∩B)=0A\cap B=\varnothing\implies P(A\cap B)=0

Qué significa cada variable

A, B
Eventos cuya relación se quiere verificar. Sin unidad.
P(A), P(B)
Probabilidades marginales. Sin unidad.
P(A∩B)
Probabilidad conjunta. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para comprobar independencia con marginales y conjunta, o distinguirla de exclusión.

  • Con solo marginales no puedes verificar independencia.
  • Excluyentes con ambas probabilidades positivas no son independientes.
  • En modelos continuos, conjunta cero no prueba por sí sola intersección vacía.

Error habitual: Llamar independientes a eventos que nunca ocurren juntos. Independencia exige producto de marginales; exclusión exige intersección vacía.

Ejemplo resuelto

P(A)=0,4; P(B)=0,5 y P(A∩B)=0,2. ¿Son independientes?

  1. Producto de marginales: 0,4·0,5=0,2.
  2. La conjunta dada también es 0,2.
  3. La igualdad verifica independencia; no son excluyentes porque la conjunta es positiva.

Son independientes con esos datos.

Practica esta idea

P(A)=0,5, P(B)=0,4 y P(A∩B)=0,1. ¿Qué puedes concluir?
Solución paso a paso
  1. Multiplica: 0,5·0,4=0,2.
  2. Compara con la conjunta 0,1: no son iguales.
  3. No hay independencia y tampoco exclusión, porque la conjunta es positiva.
  • Son independientes: 0,5·0,4=0,2, distinto de 0,1.
  • No son independientes: La conjunta no coincide con el producto de marginales.
  • Son excluyentes: Una conjunta de 0,1 es positiva; no son excluyentes.
  • La conjunta es 0,2: 0,2 es el producto, pero la conjunta entregada es 0,1.

Orden sin repetición

#
P(n,k)=n!(n−k)!,P(n,n)=n!P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},\quad P(n,n)=n!

Qué significa cada variable

n
Cantidad de objetos distintos disponibles. Sin unidad.
k
Cantidad de puestos diferentes. Sin unidad.
n!
Producto de enteros de 1 a n; 0!=1. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para asignar cargos o lugares distintos sin repetición.

  • n,k enteros, 0≤k≤n.
  • Intercambiar puestos cambia el resultado y ningún objeto se elige dos veces.

Error habitual: Dividir por k! aunque los cargos sean diferentes. Los cambios de cargo cuentan como asignaciones distintas.

Ejemplo resuelto

Podio de tres puestos entre cinco participantes distintos, sin empates. ¿Cuántos podios?

  1. Para el primer puesto hay 5 posibilidades.
  2. Quedan 4 para el segundo y 3 para el tercero.
  3. 5·4·3=60; equivale a 5!/(5−3)!.

Hay 60 podios; el orden de los tres nombres sí importa.

Practica esta idea

asignaciones

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Presidencia: 6 posibilidades.
  2. Secretaría: 5 personas restantes.
  3. 6·5=30 asignaciones ordenadas.

Repetición y copias indistinguibles

#
nkn^k
n!n1!⋯nr!\frac{n!}{n_1!\cdots n_r!}

Qué significa cada variable

n, k
En nᵏ: cantidad de opciones ≥1 y posiciones ≥0, enteras. Sin unidad.
nⱼ
Cantidad entera no negativa de copias del tipo j; Σnⱼ=n. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Distingue elegir símbolos reutilizables de reordenar un inventario con copias iguales.

  • nᵏ requiere orden, repetición permitida e igual disponibilidad en cada posición.
  • En un multiconjunto se reordenan todos los objetos; intercambiar copias iguales no genera otro resultado.
  • Una restricción de cero inicial u otras prohibiciones cambia el conteo.

Error habitual: Usar nᵏ para reordenar AABB. Las cantidades de letras están fijadas; divide 4! por 2!·2!.

Ejemplo resuelto

Compara una clave de 3 posiciones con 4 símbolos reutilizables y los reordenamientos de AABC.

  1. Clave: 4 opciones en cada una de 3 posiciones; 4³=64.
  2. AABC: 4 objetos, pero las dos A son indistinguibles.
  3. Reordenamientos: 4!/2!=24/2=12.

64 secuencias reutilizables y 12 reordenamientos son conteos de escenarios distintos.

Practica esta idea

reordenamientos

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Hay 4 letras; dos copias de A y dos de B.
  2. Divide por los intercambios de copias iguales: 4!/(2!·2!).
  3. 24/(2·2)=6.

Selección sin orden: combinaciones

#
(nk)=n!k!(n−k)!\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Qué significa cada variable

n
Cantidad de objetos distintos disponibles. Sin unidad.
k
Tamaño del grupo sin cargos. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para formar grupos de tamaño fijo sin cargos ni repetición.

  • n,k enteros con 0≤k≤n; no se repiten objetos.
  • Cambiar el orden no cambia el grupo. Si hay cargos distintos, usa orden sin repetición.

Error habitual: Contar el mismo grupo en todos sus órdenes. Divide el conteo ordenado por k!, los órdenes de cada grupo.

Ejemplo resuelto

Se forma una comisión de 3 personas entre 8, sin cargos. ¿Cuántas comisiones?

  1. El orden no cambia la comisión y nadie se repite.
  2. Conteo ordenado: 8·7·6=336.
  3. Cada comisión aparece 3!=6 veces: 336/6=56.
  4. Si fueran tres cargos distintos, habría 336 asignaciones.

Hay 56 comisiones diferentes.

Practica esta idea

equipos

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. Sin repetición y sin orden: C(7,2).
  2. 7·6 cuenta cada pareja dos veces.
  3. C(7,2)=7·6/2=21.

Modelo binomial

#
P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}

Qué significa cada variable

n
Número fijo de ensayos, entero ≥1. Sin unidad.
p
Probabilidad de éxito en cada ensayo. Sin unidad.
k, X
Éxitos pedidos y variable que los cuenta; 0≤k≤n enteros. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para contar éxitos solo cuando se cumplen las cuatro condiciones binomiales.

  • n fijo, dos resultados excluyentes y exhaustivos, independencia y p constante.
  • Para 0<p<1 aplica la fórmula. Si p=0: X=0 seguro; si p=1: X=n seguro; no evalúes 0⁰.
  • Sin reposición en una población finita no se cumplen, en general, independencia y p constante.
  • Al menos un éxito = 1−P(X=0).

Error habitual: Usar binomial exacta en extracciones sin reposición. Comprueba independencia y p constante; si fallan, usa otro modelo.

Ejemplo resuelto

Tres lanzamientos independientes de una moneda equilibrada. Probabilidad de exactamente dos caras.

  1. n=3, éxito=cara, p=1/2; se cumplen las cuatro condiciones.
  2. Hay C(3,2)=3 posiciones posibles para las dos caras.
  3. Cada secuencia tiene probabilidad (1/2)³=1/8.
  4. P(X=2)=3·1/8=3/8.

La probabilidad exacta es 3/8.

Practica esta idea

Número o fracción. Coma o punto decimal; sin separador de miles (6000, no 6.000).

Solución paso a paso
  1. n=4, k=3 y p=1/2; X cuenta caras.
  2. C(4,3)=4 posiciones posibles de la única cruz.
  3. Cada secuencia tiene probabilidad (1/2)⁴=1/16; suma 4/16=1/4.

Modelo normal y estandarización

#
X∼N(μ,σ2),Z=X−μσX\sim N(\mu,\sigma^2),\quad Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
Φ(z)=P(Z≤z)\Phi(z)=P(Z\le z)
P(a≤X≤b)=Φ(b−μσ)−Φ(a−μσ)P(a\le X\le b)=\Phi\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Qué significa cada variable

X, μ, σ
Medida, media y desviación estándar positiva. Misma unidad; minutos en este ejemplo.
Z
Valor estandarizado adimensional. Sin unidad.
Φ(z)
Probabilidad acumulada hasta z, no altura de la curva. Sin unidad.

Cuándo usarlo

Para convertir un valor a Z y leer una tabla cuya convención está declarada.

  • Modelo normal con σ>0; a≤b para un intervalo.
  • Tabla acumulada suministrada, redondeada a cuatro decimales: Φ(−1)=0,1587; Φ(0)=0,5000; Φ(1)=0,8413.
  • Los valores son aproximaciones. Para otros z necesitas un dato de tabla; no extrapoles.
  • Por continuidad, P(X=a)=0. No confundas desviación σ con varianza σ².

Error habitual: Restar 0,5 a una tabla que ya acumula desde menos infinito. Para P(X≤x), lee Φ(z) directamente; la altura de densidad no es una probabilidad.

Área hasta z=1 ≈ 0,841300,20,4-3-1013z (sin unidad)Densidad
Densidad normal estándar, eje horizontal z adimensional y vertical densidad. El área sombreada hasta z=1 es aproximadamente 0,8413; no es la altura de la curva. Tabla: z=−1,0,1; Φ=0,1587;0,5000;0,8413.

Ejemplo resuelto

X se modela normal con μ=50 min y σ=10 min. Tabla Φ(−1)=0,1587. Estima P(X≤40).

  1. z=(40−50)/10=−1.
  2. Lee la acumulada suministrada: Φ(−1)=0,1587.
  3. Según esa tabla, P(X≤40)≈0,1587.
  4. Es aproximadamente 15,87% bajo el modelo, no una predicción individual.

La probabilidad acumulada aproximada es 0,1587.

Practica esta idea

Mismo modelo: μ=50 min, σ=10 min. Tabla acumulada Φ(1)=0,8413. Según la tabla, ¿cuál es P(X≤60)?
Solución paso a paso
  1. z=(60−50)/10=1.
  2. La tabla declara acumulada desde menos infinito.
  3. Lee Φ(1)=0,8413: aproximadamente 84,13%; no restes 0,5.
  • 0,1587: 0,1587 corresponde a z=−1, no a z=1.
  • 0,3413: 0,3413 representa el área entre la media y 60, no la acumulada hasta 60.
  • 0,8413: z=(60−50)/10=1; lee Φ(1)=0,8413.
  • 1: La cola sobre 60 sigue teniendo probabilidad positiva.

¿Necesitas elegir el método? Consulta las ayudas guiadas

Antes de calcular, elige el método

Cuatro ayudas para revisar las condiciones. Puedes cambiar tus decisiones y consultar todas las reglas.

¿Qué conteo corresponde?

Piensa qué hace diferentes a dos resultados; después revisa orden y repetición.

¿Qué situación describes?

Leer todas las reglas
  • Objetos distintos, con orden y sin repetición: n!/(n−k)!, o n! si k=n. Tres cargos entre ocho: 336.
  • Sin orden y sin repetición: C(n,k). Tres integrantes entre ocho: 56 grupos.
  • Con orden y repetición, mismas opciones en cada posición: nᵏ. Cuatro símbolos en tres posiciones: 64.
  • Reordenar todas las copias indistinguibles con cantidades fijas: n!/(n₁!···nᵣ!). AABB: 6.
  • Sin orden con repetición, disponibilidad desigual, restricciones o datos desconocidos: falta información u otro conteo.

¿Se puede usar binomial?

Define primero X y qué significa éxito. Confirma las cuatro condiciones, una por una.

¿El número n de ensayos está fijado de antemano?

Leer todas las reglas
  • Confirma n fijo, dos resultados por ensayo, independencia y p constante.
  • Todas confirmadas: X puede modelarse como binomial; define éxito, p y k.
  • Cualquier condición falsa: no usar binomial exacta con esos supuestos.
  • Alguna desconocida: falta información; no asumir independencia.
  • Sin reposición: dos rojas de 3 rojas y 2 azules tienen probabilidad 3/10, no 9/25. Para p=0 o 1 usa el resultado seguro, sin 0⁰.

¿Condicional o independencia?

Distingue la pregunta de los datos disponibles; exclusión e independencia no significan lo mismo.

¿Qué necesitas averiguar?

Leer todas las reglas
  • Si la pregunta restringe a B y P(B)>0: P(A|B)=P(A∩B)/P(B); 0,12/0,4=0,3.
  • Con P(B)=0 el cociente no está definido.
  • Con P(B) y P(A|B): conjunta=P(B)P(A|B). Con independencia confirmada: conjunta=P(A)P(B).
  • Con marginales y conjunta, compara. 0,4·0,5=0,2 verifica independencia si la conjunta es 0,2; 0,5·0,4≠0,1 la descarta.
  • Solo marginales no bastan. Excluyentes de probabilidad positiva no son independientes.

¿Este logaritmo está definido?

Revisa base y cada argumento antes de aplicar propiedades. Estos son casos prefijados, sin calculadora algebraica.

Elige la expresión que quieres revisar:

Leer todas las reglas
  • Base b>0 y b≠1; cada argumento estrictamente positivo.
  • log₂(x−1): x>1. Suma log₂(x−1)+log₂(x−3): x>3; no basta validar el producto.
  • Bases 0, 1 o negativas, y argumentos cero o negativos: inválidos en los reales.
  • log₁/₂(4) es válido y vale −2, pues (1/2)⁻²=4.

Antes de seguir estudiando

¿Qué incluye este formulario M2?

22 fichas adicionales en cuatro ejes, con condiciones, ejemplos resueltos y una práctica explicada por ficha. Cuatro ayudas guiadas permiten revisar conteo, binomial, probabilidad condicional e independencia, y dominio logarítmico.

¿También necesito las fórmulas de M1?

Sí. M2 puede evaluar la base de M1. Este formulario se concentra en contenidos adicionales; consulta el formulario M1 para porcentajes, potencias, sistemas, geometría y probabilidad básica.

¿Para qué convocatoria sirve?

Sigue el temario de la PAES Regular rendida en 2026, proceso de Admisión 2027. Es material original de Preu AI para repasar, con fuentes curriculares y condiciones de uso.

¿Cómo uso las ayudas guiadas?

Elige las condiciones que están dadas en el problema. Si falta información o el modelo no corresponde, la ayuda lo explica. Puedes volver, cambiar una decisión o leer todas las reglas. No son un simulador de Suficiencia de Datos ni un diagnóstico de nivel.

¿Puedo descargar e imprimir el PDF gratis?

Sí, sin cuenta ni correo. Incluye las 22 fichas resumidas y las cuatro ayudas, además de un enlace a la base M1. La impresión siempre contiene el conjunto completo, aunque hayas filtrado la web; no incluye tus respuestas.

¿Basta memorizar las fórmulas?

También necesitas reconocer condiciones, modelar, interpretar gráficas, argumentar y comprobar resultados. Elige una ficha, estudia el ejemplo y resuelve la práctica antes de mirar la solución.